Les formules de trigonométrie s’empilent vite dans un cours de maths : sin(a+b), cos(a-b), sin a cos b, et d’autres encore. Beaucoup d’élèves les apprennent séparément, sans voir qu’elles découlent les unes des autres. Relier sin a cos b à cos(a-b) demande pourtant un seul fil conducteur, celui des formules d’addition.
Pourquoi sin a cos b et cos(a-b) appartiennent à la même famille
Quand on écrit sin a cos b, on isole un produit de deux fonctions trigonométriques. Ce produit n’est pas une formule autonome : c’est un morceau qui apparaît à l’intérieur des formules d’addition.
Lire également : Comment passer de p A inter B à p A union B facilement ?
Prenons les deux identités de base du sinus :
- sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
- sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b
Le terme sin a cos b figure dans les deux. En additionnant ces deux égalités membre à membre, le terme cos a sin b s’annule. On obtient alors : sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a cos b, soit sin a cos b = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2.
A découvrir également : Quels sont les meilleures écoles de photographie à Toulouse ?
Ce résultat porte un nom : c’est une formule de linéarisation (ou formule de transformation de produit en somme). Elle ne sort pas de nulle part. Elle découle directement des formules d’addition du sinus.
Formules d’addition du cosinus : la clé pour cos(a-b)
Le même mécanisme s’applique au cosinus. Les formules d’addition du cos s’écrivent :
- cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b
- cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b
Regardez la deuxième ligne. L’expression cos(a-b) combine deux produits : cos a cos b et sin a sin b. Chacun de ces produits peut à son tour être isolé, exactement comme on l’a fait avec sin a cos b.
En additionnant cos(a+b) et cos(a-b), on élimine sin a sin b et on trouve : cos a cos b = [cos(a+b) + cos(a-b)] / 2. En les soustrayant, on isole sin a sin b.
Toutes ces expressions (sin a cos b, cos a cos b, sin a sin b) sont donc des extractions partielles des formules d’addition. Elles ne vivent pas dans un univers séparé : elles sont contenues dans cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b) et sin(a-b).
Passer de sin a cos b à cos(a-b) en deux étapes
Vous avez l’expression sin a cos b et vous cherchez à atteindre cos(a-b). Le lien n’est pas direct par une seule manipulation, mais il passe par un chemin logique court.
Étape 1 : réécrire sin a cos b comme somme
On utilise la linéarisation vue plus haut : sin a cos b = [sin(a+b) + sin(a-b)] / 2. On a transformé un produit en somme de fonctions trigonométriques.
Étape 2 : relier sinus et cosinus par un décalage d’angle
L’identité fondamentale sin(x) = cos(pi/2 – x) permet de convertir tout sinus en cosinus. Appliquée à sin(a-b), elle donne : sin(a-b) = cos(pi/2 – a + b).
De même, cos(a-b) peut s’écrire sin(pi/2 – a + b). Ce décalage de pi/2 est le pont entre les deux familles. Le sinus d’un angle est le cosinus de son complémentaire, et réciproquement.
On ne passe donc pas de sin a cos b à cos(a-b) par une égalité directe. On y arrive en combinant deux outils : la linéarisation (produit vers somme) et la relation de complémentarité (sin vers cos).
Le cercle trigonométrique comme vérification géométrique
Les formules d’addition ne sont pas des conventions arbitraires. Elles se démontrent géométriquement sur le cercle trigonométrique.
Placez deux points M et N sur un cercle de rayon 1, aux angles a et b. La distance entre ces deux points se calcule de deux façons : par le théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus) et par les coordonnées cartésiennes (cos a, sin a) et (cos b, sin b).
En égalant les deux expressions de cette distance au carré, on retrouve exactement cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. Cette preuve géométrique est celle que les programmes scolaires français tendent à privilégier, car elle donne du sens à la formule au lieu de la poser comme un fait à mémoriser.
Une fois cos(a-b) établie, toutes les autres formules s’en déduisent par substitution. Par exemple, remplacer b par -b donne cos(a+b), puisque cos(-b) = cos b et sin(-b) = -sin b. Remplacer a par pi/2 – a dans cos(a-b) fait apparaître sin(a+b). Une seule formule d’addition suffit à reconstruire toutes les autres.
Méthode pratique pour ne plus confondre les formules trigonométriques
Plutôt que de mémoriser chaque formule isolément, partez toujours de cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b. C’est la formule mère.
- Pour cos(a+b), remplacez b par -b. Le signe devant sin a sin b s’inverse : cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b
- Pour sin(a+b), remplacez a par pi/2 – a dans cos(a-b). Vous obtenez sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
- Pour sin(a-b), appliquez la même substitution dans cos(a+b), ou remplacez b par -b dans sin(a+b)
- Pour les formules de linéarisation (sin a cos b, cos a cos b, sin a sin b), additionnez ou soustrayez les formules d’addition deux par deux
Cette approche réduit la charge de mémorisation à une seule identité. Le reste est de la dérivation logique.
L’idée de relier sin a cos b à cos(a-b) revient à comprendre que ces expressions ne sont pas des formules concurrentes. Elles forment un réseau où chaque noeud se déduit d’un autre par substitution, addition ou décalage d’angle. Retenir ce mécanisme de construction vaut bien plus que retenir une liste : le jour de l’examen, vous pouvez retrouver n’importe quelle formule à partir d’une seule.
